一个Holant二分性：FKT算法是通用的吗？
计算复杂性
2015-05-13 v1 数据结构与算法
摘要
我们证明了带任意对称约束函数集的布尔变量复加权Holant问题的复杂性二分。该二分性专门用于回答以下问题：在全息变换下的FKT算法是否是获取一般难解平面图问题多项式时间算法的通用策略？该二分性是先前若干二分性（包括自旋系统、Holant和#CSP的二分性）的集大成。一个反复出现的主题是到FKT的全息归约是一种通用策略。令人惊讶的是，对于平面Holant，我们发现了新的平面易处理问题，它们无法由到FKT的全息归约表达。在先前工作中，一个重要工具是#CSP^d的二分性，其中#CSP^d表示每个变量出现次数为d的倍数的#CSP。然而其证明破坏了平面性。我们证明了平面#CSP^2的二分性。我们将此平面#CSP^2二分性应用于平面Holant二分性的证明中。作为我们新平面易处理问题的特例，当关联图平面且k >= 5时，对k-一致超图上的计数完美匹配(#PM)可在多项式时间计算。当k=3或k=4时同样问题是#P难的，这也是我们二分性的推论。当k=2时，它成为平面图上的#PM且再次易处理。更一般地，在具有指定超边大小且相同平面性假设超图上，若所有超边大小的最大公约数至少为5，则#PM可在多项式时间计算。
引用
@article{arxiv.1505.02993,
title = {A Holant Dichotomy: Is the FKT Algorithm Universal?},
author = {Jin-Yi Cai and Zhiguo Fu and Heng Guo and Tyson Williams},
journal= {arXiv preprint arXiv:1505.02993},
year = {2015}
}
备注
128 pages, 36 figures