域大小为 3 的平面图同态计数问题的复杂性

我们证明了域大小为 3 的平面图同态计数问题的一个复杂性二分定理。给定任意定义图同态 $H$ 的 3×3 实值对称矩阵，从所有平面图 $G \mapsto Z_H(G)$，我们依据矩阵 $H$ 完全分类了该问题的计算复杂性。我们证明对每一个 $H$，该问题要么属于多项式时间可计算，要么为 #P-hard。多项式时间可计算的情形恰好包括那些对一般图而言多项式时间可计算的（已有完整分类）或通过 Valiant 的基于 matchgate 的全息算法可计算的。我们还证明了关于一般域大小 $q$ 的平面图同态的若干结果。证明主要使用解析论证。