彩色对称代数与外代数

我们研究了对称代数及其 Koszul 对偶（即外代数）的彩色推广。对称群 $\mathfrak{S}_n$ 作用于这些代数的多重线性分量。虽然 $\mathfrak{S}_n$ 在彩色对称代数的多重线性分量上平凡作用，但我们利用偏序集拓扑技术来理解其 Koszul 对偶上的表示。我们引入了一种称为加权布尔代数的加权子集 $\mathfrak{S}_n$-偏序集，并证明了彩色外代数的多重线性分量与其最大区间的上同调模是 $\mathfrak{S}_n$-同构的。我们利用 Sundaram 的一种技术来计算 Cohen-Macaulay 偏序集上的群表示，从而给出了彩色外代数的 Frobenius 级数的生成公式。我们利用该公式找到了相应表示在不可约 $\mathfrak{S}_n$-表示项下的展开式的显式表达式。我们证明了这两个彩色 Koszul 对偶代数在 Priddy 的意义下是 Koszul 的。