完全图随机覆盖图的色数

图 $G$ 的 $n$-覆盖图是一个图，存在从它到 $G$ 的 $n$-对-$1$ 覆盖映射。Amit、Linial 和 Matoušek（2002）提出了 $K_5$ 的随机 $n$-覆盖图的色数是否集中在单一值上的问题。我们考虑 $G=K_{d+1}$ 的这一问题，并证明对于固定的 $d\ge 3$，$K_d$ 的随机覆盖图的色数（渐近几乎必然）为 $k$ 或 $k+1$，其中 $k$ 是满足 $d < 2k \log k$ 的最小整数。此外，我们证明对于大约一半的 $d$ 值，色数集中在 $k$ 上。色数上界的论证使用了小子图条件化方法，并且可推广到任意固定 $d$-正则图 $G$ 的随机 $n$-覆盖图。