Beurling zeta 函数的 Carlson 型零密度定理

在先前的一篇论文中，我们证明了满足 Knopfmacher 公理 A 的 Beurling zeta 函数在临界带内零点的 Carlson 型密度定理。那时我们需要援引两个附加条件：范数的整性（条件 B）以及对计数相同范数的不同 Beurling 整数个数的算术函数的“平均 Ramanujan 条件”（条件 G）。这里我们实现了 Pintz 的一种新方法，使用经典的零检测和与 Halász 方法相结合，但以初等方式论证，避免了例如大筛型不等式。由此我们给出了 Carlson 型密度估计——带有显式常数——的新证明，避免了早先所需的两个附加条件。因此可见，Carlson 型密度估计的有效性不依赖于任何额外假设——既不依赖于 Selberg 类中存在的函数方程，也不依赖于系数的增长估计（如“平均 Ramanujan 型”）——而是一种普遍性质，只要公理 A 保证了解析延拓就会出现。