Beurling ζ 函数的新零密度估计

在之前的两篇论文中，第二作者证明了满足 Knopfmacher 公理 A 的 Beurling zeta 函数在临界带中零点的 Carlson 型密度定理。其中第一篇需要调用两个附加条件，而第二篇则获得了一个明确的、完全一般的结果。随后，Frederik Broucke 和 Gregory Debruyne 通过一种不同的方法，得到了一个具有更好指数的通用 Carlson 型密度定理，并且最近 Frederik Broucke 进一步改进了这一点，得到了 $N(\sigma,T) \le T^{a(1-\sigma)}$，其中任意 $a>\dfrac{4}{1-\theta}$。Broucke 采用了一个新的 Beurling zeta 函数均值估计，但他没有使用 Halász 和 Montgomery 的方法。在此，我们详细阐述了第一作者的一种新方法，该方法使用经典的零点检测和，结合核函数技术和 Halász 方法，但在其他方面以初等方式论证，避免了例如 Dirichlet 多项式的均值估计。我们将本质地使用附加假设，即 Beurling 整数系统由自然数组成，并且该系统也满足 Ramanujan 条件。通过这种方式，我们给出了 Carlson 型密度估计的一个新变体，其强度类似于 Turán 1954 年对 Riemann ζ 函数的结果，对于接近 1 的 σ，甚至接近密度假设。