有限冯·诺依曼代数中的广义伯林定理

2016年和2017年，Haihui Fan、Don Hadwin和Wenjing Liu分别针对$L^{\infty}(\mathbb{T},\mu)$上的连续酉不变范数$\alpha$以及迹有限冯·诺依曼代数$\left( \mathcal{M},\tau \right)$证明了伯林定理的交换与非交换版本。本文中，我们研究有限冯·诺依曼代数上酉$\|\|_{1}$-支配不变范数$\alpha$。首先我们通过定义$H^{\alpha}(\mathbb{T},\mu)=\overline {H^{\infty}(\mathbb{T},\mu)}^{\sigma(L^{\alpha}\left( \mathbb{T} \right),\mathcal{L}^{\alpha^{'}}\left( \mathbb{T} \right))}\cap L^{\alpha}(\mathbb{T},\mu)$得到了交换冯·诺依曼代数中的伯林定理，进而证明广义伯林定理成立。此外，我们在非交换情形也得到了类似结果。我们证明中的关键要素包括$L^{\alpha }\left(\mathcal{M},\tau \right)$的分解定理与稠密定理。