存在窃听者时的私有信息检索容量

我们考虑具有合谋服务器与窃听者（缩写为 ETPIR）的私有信息检索（PIR）问题。ETPIR 问题由 $K$ 条消息、$N$ 台服务器（每台服务器存储全部 $K$ 条消息）、一名希望检索 $K$ 条消息之一且不向任意 $T$ 台合谋服务器泄露所需消息索引的用户，以及一名能监听任意 $E$ 台服务器的查询与应答但被阻止获知任何消息信息的窃听者组成。ETPIR 的信息论容量定义为每下载一个信息符号所能私下检索到的所需消息符号的最大数量。我们证明当 $E < T$ 时，ETPIR 的容量为 $C = \left( 1- \frac{E}{N} \right) \left(1 + \frac{T-E}{N-E} + \cdots + \left( \frac{T-E}{N-E} \right)^{K-1} \right)^{-1}$；当 $E \geq T$ 时，容量为 $C = \left( 1 - \frac{E}{N} \right)$。为实现该容量，服务器需要共享一个公共随机变量（与消息独立），且其大小必须至少为每消息符号 $\frac{E}{N} \cdot \frac{1}{C}$ 个符号。否则，在共享公共随机性较少的情况下，ETPIR 不可行且容量降为零。一个有趣的观察是，ETPIR 容量表达式在两种情形下形式不同。当 $E < T$ 时，容量等于一个具有 $K$ 项的几何级数之和的倒数并随 $K$ 递减；这种形式是 PIR 容量表达式的典型形式。当 $E \geq T$ 时，容量不依赖于 $K$，这是 SPIR（对称 PIR，其进一步要求数据隐私，即用户不获知其他非所需消息的任何信息）容量表达式的典型形式；容量也不依赖于 $T$。此外，ETPIR 容量结果将多个先前的 PIR 与 SPIR 容量结果作为特例包含在内。