Calabi 度量与 Einstein 轨形去奇化

考虑一个实维数为 $2n$ 的 Einstein 轨形 $(M_0,g_0)$，其奇点的轨形群为 ${\rm{SU}}(n)$ 中的 $n$ 阶循环群，由单位矩阵的 $n$ 次本原根生成。Calabi 证明了在无穷远处存在具有此群的 Ricci-flat Kähler ALE 度量。通过用缩放截断的 Calabi 度量替换轨形奇点的小邻域，可在 $M_0$ 的去奇化上得到一个自然的“近似” Einstein 度量。本文中，我们确定了将此近似 Einstein 度量微扰至真正 Einstein 度量的第一障碍。若 $M_0$ 紧致，我们可借此构造出一些 Einstein 轨形的例子，它们在去奇化上的自然近似 Einstein 度量邻域内不承认任何 Einstein 度量。在 $(M_0,g_0)$ 为渐近双曲 Einstein 且非退化的情况下，我们证明若第一障碍消失，则去奇化上确实存在一个渐近双曲 Einstein 度量。在障碍不消失的情况下，我们也得到了渐近双曲 Einstein 情形下的非存在性结果。此工作推广了 Biquard 在 $n=2$ 情形下的构造（此时 Calabi 度量亦称 Eguchi-Hanson 度量），但高维情形存在若干关键差异。