三维 Calderón 问题中的 Born 近似 II：径向情形下的数值重建

在本工作中，我们通过数值实验说明了三维 Calderón 逆电导率问题中 Born 近似的若干性质。结果基于作者近期引入的 Born 近似的显式表示公式。我们聚焦于半径为 $R$ 的球 $B_R \subset \mathbb{R}^3$ 中径向电导率的特殊情形，其中 Calderón 问题的线性化等价于一个 Hausdorff 矩问题。我们给出数值证据，表明 Born 近似对 $L^{\infty}$ 电导率是有定义的，并提出了一种在适当小性假设下从 Born 近似重建径向电导率的新数值算法。我们还表明，Born 近似具有依赖于到边界 $\partial B_R$ 距离（深度）的深度相关唯一性与近似能力。随后我们研究增大半径 $R$ 如何影响 Born 近似的质量，以及当 $R\to \infty$ 时散射极限的存在性。类似的性质也在 Schrödinger 算子 $-\Delta +q$ 的逆边界问题中得到说明，并且在此情形下观察到奇性的强恢复结果。