由对称四次曲面覆盖的 Enriques 曲面的自同构群

设 $S$ 为由 $\mathbb{P}^3$ 中的对称四次曲面 $(\sum_{i<j}x_ix_j)^2=kx_1x_2x_3x_4$（其中 $k\neq 0,4,36$）通过取 Cremona 作用 $(x_i) \mapsto (1/x_i)$ 的商而得到的（极小）Enriques 曲面。$S$ 的自同构群是四个对合的自由积 $\mathcal{F}$ 与对称群 $\mathfrak{S}_4$ 的半直积。在 $\mathcal{F}$ 的作用模去后，$S$ 上恰有 $29$ 个椭圆铅笔。