Ariki–Koike代数与Rogers–Ramanujan型分拆

2000年,Ariki与Mathas证明Ariki–Koike代数 $\mathcal{H}_{\mathbb{C},q;Q_1,\ldots, Q_m}\big(G(m, 1, n)\big)$(当参数为单位根且 $q\neq 1$ 时)的单纯模由所谓的Kleshchev多重分拆标记。结合Ariki的范畴化定理,这使得Ariki与Mathas能够借助Weyl–Kac特征标公式得到Kleshchev多重分拆个数的生成函数。本文中,我们重新审视 $q=-1$ 情形下的该生成函数。此 $q=-1$ 情形尤为有趣,因为当 $Q_1=\cdots=Q_a=-1$ 且 $Q_{a+1}=\cdots =Q_m =1$ 时,相应的Kleshchev多重分拆与广义Rogers–Ramanujan型分拆有非常紧密的联系。基于该联系,我们对 $q=Q_1=\cdots Q_a=-1$ 且 $Q_{a+1}=\cdots =Q_m =1$ 的情形给出了Ariki与Mathas结果的解析证明。我们的第二个目标是研究固定块中Ariki–Koike代数的单纯模。已知固定块中的这些单纯模由具有固定分拆剩余类统计量的Kleshchev多重分拆标记。该分拆统计量亦在Berkovich、Garvan与Uncu的著作中被研究。利用他们的结果,我们在 $m=2$ 时给出了两个二元生成函数恒等式。