Buryak-Feigin-Nakajima 定理的组合证明

Buryak、Feigin 与 Nakajima 利用 $C^2$ 上 Hilbert 概型的 $Z/cZ$ 不动点集的几何,计算了一族分拆统计量的生成函数。Loehr 与 Warrington 此前已展示,Haiman 利用 $C^2$ 上 Hilbert 概型几何所得的类似观察可化为纯组合论证。我们将 Loehr 与 Warrington 的技巧推广,以同时处理核与商。具体而言,我们构造了一个多重图 $M_{r,s,c}$,它是 Loehr 与 Warrington 多重图 $M_{r,s}$ 的直接精细化,保留了相关的分拆数据,并被一个对合 $I_{r,s,c}$ 保持;我们借此证明了一族分拆统计量的等分布。作为推论,我们得到了 Buryak、Feigin 与 Nakajima 结果的纯组合证明。更确切地说,我们定义了一族分拆统计量 $\{h_{x,c}^+, x\in [0,\infty)\}$,并给出组合证明:对所有 $x$ 与所有正整数 $c$,\begin{equation*} \sum q^{|\lambda|}t^{h_{x,c}^+(\lambda)}=q^{|\mu|}\prod_{i\geq 1}\frac{1}{(1-q^{ic})^{c-1}}\prod_{j\geq 1}\frac{1}{1-q^{jc}t}, \end{equation*} 其中求和取遍所有以 $\mu$ 为 $c$-核的分拆 $\lambda$。第 2 节回顾分拆、核与商的相关背景,写作时顾及了该领域的新读者。