具有任意分歧型分支点的球面覆盖的一个简单递推关系
组合数学
2007-05-23 v1 代数几何
摘要
计数 Riemann 曲面的分歧覆盖（在同胚意义下）的问题由 Hurwitz 于 19 世纪末提出。该问题在组合上转化为分解一个具指定轮换类型的置换，并对因子的轮换类型附加某些条件，例如极小性与传递性。Goulden 与 Jackson 给出了将一个置换分解为对合的最小传递分解数的证明。该证明涉及生成级数的一个偏微分方程，称为 Join-Cut 方程。近来，Bousquet-Mélou 与 Schaeffer 找到了将一个置换分解为任意未指定因子的最小传递分解数。这是通过纯粹组合论证证明的，基于分解与称为 -Eulerian 树的某些对象之间的直接双射。在本文中，我们给出 Bousquet-Mélou 与 Schaeffer 的生成级数以及 Goulden 与 Jackson 的生成级数的一个简单的偏微分方程，并给出 Bousquet-Mélou 与 Schaeffer 结果的一个新证明。我们应用基于 Lagrange 定理的代数方法，以及基于 Bousquet-Mélou 与 Schaeffer 的 -Eulerian 树新用法的组合方法。
引用
@article{arxiv.math/0508226,
title = {A simple recurrence for covers of the sphere with branch points of arbitrary ramification},
author = {I. P. Goulden and Luis G. Serrano},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0508226},
year = {2007}
}