星型与单调因子分解的中心性
组合数学
2026-01-01 v2
摘要
对称群中的一个因子分解问题被称为是中心的，如果共轭置换总是具有相同数量的因子分解。我们首次给出了传递星型因子分解中心性的一个完全组合证明，该证明对所有亏格均有效，这回答了 Goulden 和 Jackson 在 2009 年提出的一个自然问题。我们首先证明了星型因子分解的集合与某个单调因子分解的集合数量相等，这是一个新结果。我们对此给出了不止一种证明，并且关键的是，我们的其中一个证明是双射的。作为推论，我们得到了一些单调双 Hurwitz 因子分解的新公式，以及 Hurwitz 与单调 Hurwitz 因子分解之间的一个新关系。我们还推广了 Goulden 和 Jackson 在 2009 年的一个定理，该定理指出 Jucys-Murphy 元素的传递幂是中心的。我们的定理指出，在 Jucys-Murphy 元素处求值的任何对称函数的传递像都是中心的，这给出了 Jucys 在 1974 年原始结果的一个传递版本。
引用
@article{arxiv.2403.08354,
title = {Centrality of star and monotone factorisations},
author = {Jesse Campion Loth and Amarpreet Rattan},
journal= {arXiv preprint arXiv:2403.08354},
year = {2026}
}
备注
v2: Slight change to introduction. Section 1.5 is new and adds some geometric context (1.5 pages). New reference given for Equation (23) (this equation was known previously). Additionally, minor corrections were made and typos were fixed