分区代数作为单元素代数

Wilcox考察了分区代数$\mathbb{C}A_k(n)$上的扭转半群代数结构，但似乎尚无已知基数能够使$\mathbb{C}A_k(n)$具有"非扭转"半群代数或单元素代数的结构。这激励了以下问题：对于非退化情形（即$n \in \mathbb{C} \setminus \{ 0, 1, \ldots, 2 k - 2 \}$，使得$\mathbb{C}A_k(n)$是半单的），如何构建基数$M_{k} = M$，使得$M$在$\mathbb{C}A_k(n)$的乘法运算下封闭，$M$在该运算下形成单半群，并如何以显式且组合方式定义$M$中元素的乘法规则以分区图表示？我们使用Halverson和Ram的矩阵单元构造、Benkart和Halverson之间的双射将 vacillating 表图与 set-partition 表图关联，Colmenarejo等人给出的RSK对应关系中分区图的类比，以及Hewitt和Zuckerman给出的有限维半单代数同构于半群代数的类比结果，构建了所需的基数$M$。