指数随机游动的面积与均匀次序统计量的部分和

设 $S_i$ 为具有标准指数增量的随机游动。我们称 $\sum_{i=1}^k S_i$ 为其 $k$ 步面积。随机变量 $V = \inf_{k \ge 1} \frac{2}{k(k+1)} \sum_{i=1}^k S_i$ 在所谓的一维黏性粒子模型研究中起重要作用。我们求出 $V$ 的分布并证明对 $t\in[0,1]$ 有 $P(V > t) = \sqrt{1-t} \exp(-t/2)$。我们还证明变量 $\min_{1 \le k \le n} \frac{2n}{k(k+1)} \sum_{i=1}^k U_{i, n}$ 依分布收敛于 $V$。这里 $U_{i, n}$ 是 $n$ 个独立同分布于 $[0,1]$ 上均匀分布的随机变量的次序统计量。