保持在非平坦底部以上的随机漫步：曲率效应

设$h:[0,1]\to\mathbb{R}$为$C^2$函数且满足$\sup_{[0,1]} h''<0$。对于任意正整数$n$，定义$h_n(k) = n h(k/n)$，其中$k\in\{0,\dots,n\}$。我们考虑具有独立同分布中心化增量的随机漫步$(S_k)_{k\geq 0}$，其具有有限的指数矩。我们关注事件$\{S\geq h_n\} = \{S_k\geq h_n(k)\;\forall k\in\{0,\dots,n\}\}$。众所周知，$P(S\geq h_n \,|\, S_0=0,\, S_n=\lceil h_n(n) \rceil) = e^{n\int_0^1 I(h'(s)) \,ds + o(n)}$，其中$I$为与增量的对数矩生成函数相关联的Legendre-Fenchel变换。我们首先证明主导性修正项的阶数为$e^{-\Theta(n^{1/3})}$。随后我们关注条件随机漫步测度$P^h_n = P(\cdot \,|\, S\geq h_n, S_0=0, S_n=\lceil h_n(n) \rceil)$。我们证明一点尾部形式为$\mathbb{P}_n^h (S_k \geq h_n(k) + t n^{1/3} ) = e^{-\Theta(t^{3/2})}$，其中$t<n^\beta$，且$\beta\in(0,1/6)$。此外，我们证明对于任意$r\geq 1$，都有$E_n^h((S_k-h_n(k))^r) = \Theta(n^{r/3})$且$\mathrm{Var}_{P_n^h}(S_k) = \Theta(n^{2/3})$，其中$k$远离$0$和$n$。此外，我们展示$\mathrm{Cov}_{P_n^h}(S_k,S_\ell) \leq e^{-O(|\ell-k|/n^{2/3})}$，其中$k,\ell$不太接近$0$和$n$。