湮灭数不能从上界限制 2-支配数

图 $G$ 的 $2$-支配数 $\gamma_2(G)$ 是集合 $S\subseteq V(G)$ 的最小基数，使得 $V(G)\setminus S$ 中的每个顶点都至少与 $S$ 中的两个顶点相邻。湮灭数 $a(G)$ 是满足如下条件的最大整数 $k$：$G$ 的非降度序列前 $k$ 项之和至多为其边数。曾有猜想认为，对每棵连通图 $G$ 均有 $\gamma_2(G) \leq a(G) +1$。该猜想此前已被证实对最小度 $3$ 的图、树以及块图等成立。本文通过证明 $2$-支配数可以任意大于湮灭数，否定了该猜想。在正面结果方面，我们证明了该猜想对二分连通仙人掌图的一个大类成立，从而推广了 Jakovac 在 [Discrete Appl. Math. 260 (2019) 178--187] 中的结果。