具有幂律核的聚集方程：不适定性、质量集中与相似解

我们研究多维聚集方程 $u_t+\Div(uv)=0$, $v=-\nabla K*u$，初始数据在 $\cP_2(\bR^d)\cap L_{p}(\bR^d)$ 中。我们证明，对于生物学相关的势 $K(x)=|x|$，该方程在临界勒贝格空间 $L_{d/(d-1)}(\bR^d)$ 中是不适定的，即存在 $\cP_2(\bR^d)\cap L_{d/(d-1)}(\bR^d)$ 中的初始数据，使得唯一的测度值解立即离开 $L_{d/(d-1)}(\bR^d)$。我们还将此结果推广到更一般的幂律核 $K(x)=|x|^\alpha$, $0<\alpha<2$，其中 $p=p_s:=d/(d+\alpha-2)$，并证明了 Bertozzi, Laurent 和 Rosado [5] 中关于初始数据在 $\cP_2(\bR^d)\cap L_{p}(\bR^d)$ 且 $p<p_s$ 时瞬时质量集中的猜想。最后，我们分类了维数大于二时所有“第一类”径向对称相似解。