超越扩张的仿射筛法 I：稀疏斜边

我们研究仿射筛法的一个实例，得到的分布水平超越了现有技术所能获得的结果，即使在假设存在 Selberg/Ramanujan 型谱隙的情况下也是如此。具体而言，我们考虑毕达哥拉斯三元组稀疏轨道中的斜边集合。先前的工作 [Kon07, Kon09, KO12] 基于 Gamburd [Gam02] 的谱隙 $\theta = 5/6$ 给出了分布指数 $\alpha < 1/12$，从而在此线性筛问题中产生了 $R = 13$ 殆素数（定义见第 1 节）。若以最佳可能的谱隙 $\theta = 1/2$ 为条件，已知方法将给出指数 $\alpha < 1/4$ 及 $R = 5$ 殆素数。指数 1/4 是该问题中“Bombieri-Vinogradov”分布范围的自然类比，见注记 1.19。在本文中，我们无条件地证明了指数 $\alpha < 7/24$（处于“Elliott-Halberstam”范围内），从而产生了 $R = 4$ 殆素数。主要工具涉及为此仿射筛法问题在不完全和范围内发展双线性形式与色散方法。