$0$-Rook 幺半群及其表示理论

我们证明了 Solomon 的 $q$-变形 rook 幺半群在 $q=0$ 处的适当退化是幺半群 $R_n^0$（即 $0$-rook 幺半群）的代数，这与 Norton 的 $0$-Hecke 代数作为幺半群 $H_n^0 = H^0(A_{n-1})$（在 Cartan 类型 $A_{n-1}$ 中）的代数如出一辙。正如预期，$R_n^0$ 与后者密切相关：它包含 $H^0(A_{n-1})$ 幺半群，并且是 $H^0(B_{n})$ 的商。我们给出了该幺半群的一个表示，以及作为其作用于经典 rook 幺半群本身的函数的一个组合实现。在此过程中，我们得到了 rook 幺半群的 Matsumoto 定理，这是 Solomon 曾猜想的一个结果。$0$-rook 幺半群与 Hecke 幺半群共享许多组合性质：其 Green 右预序是一个实际的序，并且进一步是一个格（类似于右弱序），具有一些良好的组合与几何特征。特别地，$0$-rook 幺半群是 J-平凡的。遵循 Denton-Hivert-Schilling-Thiéry 的工作，它使我们能够描述其表示理论，包括单模与射影模的描述。我们进一步证明 $R_n^0$ 在 $H_n^0$ 上是射影的，并明确了沿包含映射的限制与归纳函子。最后我们给出了 $(R_n^0)$ 族上的（部分）结合塔结构，并讨论了其表示理论。