$\text{L}^2$ 解：圆柱 $\mathbb{R}\times\mathbb{T}$ 与 $\mathbb{R}^2$ 上带分数椭圆/双曲算子的三次非线性薛定谔方程

本文我们考虑定义在圆柱 $\mathbb{R}\times\mathbb{T}$ 上的三次薛定谔方程（NLS）的柯西问题，其在周期方向带有分数阶导数 $(-\partial_y^2)^{\alpha},\, \alpha >0$。空间算子包含椭圆与双曲情形。我们通过为线性方程证明一个 $L^4 - L^2$ Strichartz 不等式，遵循 H. Takaoka 与 N. Tzvetkov 在拉普拉斯算子情形中发展的思想，证明了当 $\alpha > 1$ 时的 $L^2$ 全局适定性结果。此外，这些结果在欧氏环境 $\mathbb{R}^2$ 上依然成立，因此该情形下的 $L^2$ 适定性也得以实现。我们的证明在椭圆（双曲）情形分别不适用于 $0<\alpha <1$（$0<\alpha \leq 1$）的情况。