Telgársky猜想可能不成立

Telgársky猜想断言：对每个 $k \in \mathbb N$，存在一个拓扑空间 $X_k$，使得在 $X_k$ 上的Banach-Mazur博弈中，玩家{\scriptsize NONEMPTY}有获胜的 $(k+1)$-策略但没有获胜的 $k$-策略。我们证明该命题一致地为假。更具体地，我们证明，在假设 $\mathsf{GCH}+\square$ 下，若 {\scriptsize NONEMPTY} 对 $T_3$ 空间 $X$ 上的Banach-Mazur博弈有获胜策略，则她有获胜的 $2$-策略。证明使用了Galvin提出的一种编码论证：若 $X$ 有一个具有某些良好性质的 $\pi$-基，则 {\scriptsize NONEMPTY} 能够在她对手的每一对连续着法中编码关于当前着法之前博弈进程的所有本质信息。我们的证明表明，在 $\mathsf{GCH}+\square$ 下，每个 $T_3$ 空间都有一个足以实现此编码策略的良好 $\pi$-基。翻译成偏序集的语言，我们真正证明的是 $\mathsf{GCH}+\square$ 蕴含如下命题，该命题等价于上述“良好” $\pi$-基的存在：\emph{每个具有 $\kappa$-cc 的可分偏序集 $\mathbb P$ 包含一个稠密子偏序集 $\mathbb D$，使得对每个 $p \in \mathbb P$ 有 $|\{ q \in \mathbb D \,:\, p \text{ extends } q \}| < \kappa$。} 我们证明该命题独立于 $\mathsf{ZFC}$：尽管它在 $\mathsf{GCH}+\square$ 下成立，但即使对ccc偏序集，若 $\mathfrak{b} > \aleph_1$ 它也不成立。我们还证明，若 $|\mathbb P| < \aleph_\omega$，则关于 $\mathbb P$ 的该公理是 $\mathsf{GCH}$ 在 $|\mathbb P|$ 以下成立的结果。