带加性噪声的随机偏微分方程解的泰勒展开
概率论
2010-10-04 v1
摘要
由无穷维布朗运动驱动的抛物型随机偏微分方程的解通常不再是半鞅，并且通常不满足像有限维随机常微分方程解那样的Itô公式。特别是，无法像随机常微分方程的解那样，通过迭代应用Itô公式来推导随机泰勒展开。因此，直到最近，对于此类随机偏微分方程，只有低阶数值逼近结果可用。这里，带加性噪声的随机偏微分方程的解可以在温和意义下解释，其积分涉及随机偏微分方程中主导线性算子的指数，这为推导此类随机偏微分方程解的随机泰勒展开提供了一种替代方法。本质上，指数因子具有平滑效应，并确保所有积分都取值于所考虑的希尔伯特空间中。此类积分的迭代使我们能够推导出任意高阶的随机泰勒展开，这些展开是稳健的，因为它们也适用于其他类型的驱动噪声过程，例如分数布朗运动。树和林的组合概念为泰勒展开提供了紧凑的表述。
引用
@article{arxiv.1010.0161,
title = {Taylor expansions of solutions of stochastic partial differential equations with additive noise},
author = {Arnulf Jentzen and Peter Kloeden},
journal= {arXiv preprint arXiv:1010.0161},
year = {2010}
}
备注
Published in at http://dx.doi.org/10.1214/09-AOP500 the Annals of Probability (http://www.imstat.org/aop/) by the Institute of Mathematical Statistics (http://www.imstat.org)