Carnot 流形的切映射与切群胚

本文研究 Carnot 流形的无穷小结构。所谓 Carnot 流形，是指带有一个与向量场的 Lie 括号相容的切丛的子丛过滤的流形。我们引入一种微分概念，称为 Carnot 微分，用于 Carnot 流形映射（即与 Carnot 流形结构相容的映射）。该微分作为相应切群之间的群映射得到。我们证明，在每一点处，一个 Carnot 流形映射都被其在该点的 Carnot 微分以非常精确的方式密切逼近。我们还表明，在幂零分次群之间的映射情形，Carnot 微分由 Pansu 导数给出。因此，Carnot 微分是 Pansu 导数到一般 Carnot 流形之间映射的自然推广。另一主要结果是构造了 Connes 切群胚之于 Carnot 流形的类似物。给定任意 Carnot 流形 $(M,H)$ 我们得到一个光滑群胚，它编码了点对 $M\times M$ 到切群丛 $GM$ 的光滑形变。这表明，在每一点处，切群以真正的微分几何方式成为切空间。此外，我们拥有一个群胚这一事实本身就解释了切群的群结构。顺便，这回答了 Bellaïche 的一个著名问题。