作为非奇异幂有界变换及其逆映射的锡拉丘兹映射

我们证明动力系统 $(\mathbb{N}, 2^{\mathbb{N}}, T, \mu)$（其中 $\mu$ 为等价于计数测度的有限测度）在 $L^1(\mu)$ 中幂有界，当且仅当映射 $T$ 存在一个循环，且对任意 $x \in \mathbb{N}$，存在 $k \in \mathbb{N}$ 使得 $T^k(x)$ 位于映射 $T$ 的某个循环中。该结果对 Collatz 猜想有直接意义，我们借此引出对逆像 $T^{-1}(x)$（$x \in \mathbb{N}$）的数论性质研究，此处 $T$ 表示 Collatz 映射。我们研究了相关锡拉丘兹映射的类似性质，并将其与 Collatz 映射比较。我们还分析了逆像的一些结构性质，涉及集合 $\{x \in \mathbb{N} \mid \exists k \in \mathbb{N}: T^k(x) < x\}$ 的渐近密度。