若干扰动有理幂序列的收敛性及其在锡拉丘兹问题中的应用

有理幂序列 \left( \xi\left( \frac{p}{q} \right)^{n} \right)_{n\ge 0}，特别是在 \frac{p}{q}=\frac{3}{2} 的情形，与许多重要的组合学和数论问题相关，例如锡拉丘兹、Z数和华林问题。已知这些问题的猜想是难以处理的，且迄今为止仅存在少数部分结果。在本文中，我们研究一类称为“分支序列”的扰动有理幂序列，其形式为 \left( S_{n}=\left( \xi+\Sigma_{n} \right)\left( \frac{p^{n}}{q^{n+e_{n}}} \right) \right)_{n\ge 0}。在假设此类序列是确定性的且具受控正扰动的条件下，我们建立收敛结果：min_{n\ge 0}(S_{n})\le q^{2}。作为应用，我们表明锡拉丘兹序列是满足所有收敛所需条件的“分支序列”，因此这证实了Collatz猜想。关键词：有理幂序列，锡拉丘兹猜想，Collatz问题，3x+1问题。