多项式环及其完备化中的 Collatz 映射类比

我们研究多项式环 $R[x]$ 中 Collatz 映射的一个类比，其中 $R$ 为任意交换环。我们证明，若 $R$ 具有正特征，则 $R[x]$ 中每个多项式关于该映射最终周期。这推广了作者本人以及 Hicks、Mullen、Yucas 和 Zavislak 的先前工作，他们分别研究了 $\mathbb{F}_p[x]$ 和 $\mathbb{F}_2[x]$ 上的 Collatz 映射。我们还考虑了当 $R$ 有限时形式幂级数环 $R[[x]]$ 上的 Collatz 映射：我们刻画了该环中最终周期的级数，并给出了由 Collatz 映射诱导的任意给定长度的循环个数公式。我们对定义在 $2$-进整数环 $\mathbb{Z}_2$ 上的原始 Collatz 映射给出了类似公式，推广了 Lagarias 的先前结果。