Anderson转变的对称性理论

我们证明了Vollhardt和Wolfle的假设，即在 $k+k'\to 0$ 极限下，出现在Bethe--Salpeter方程中的不可约顶点 $U_{kk'}(q)$ 包含一个扩散极点（具有可观测的扩散系数 $D(\omega,q)$）。$U_{kk'}(q)$ 中扩散极点的存在使得可以将量子“碰撞算符” $L$ 表示为一个具有无穷多零模的奇异算符 $L_{sing}$ 与一个一般形式的正则算符 $L_{reg}$ 之和。研究系统对 $L_{reg}$ 变化的响应导出了一个自洽方程，它取代了粗糙的Vollhardt-Wolfle方程。其解表明，在转变点处 $D(0,q)$ 对所有 $q$ 同时消失。在 $\omega \to 0$ 时，$D(\omega,q)$ 的空间色散在相对单位下为 $\sim 1$。它由原子尺度决定，在与关联长度 $\xi$ 相关的 $q \sim \xi^{-1}$ 尺度上没有表现。在 $d$ 维空间中，所得到的电导率临界指数 $s$ 和局域化长度临界指数 $\nu$ 的值，即 $s=1$ ($d>2$) 和 $\nu=1/(d-2)$ ($2<d<4$)、$\nu=1/2$ ($d>4$)，与所有可靠确立的结果一致。就对称性变化的特征而言，发现Anderson转变类似于具有无穷多分量的各向同性铁磁体的Curie点。对于这样的铁磁体，其临界指数是精确已知的，并且与上述指出的指数一致。这表明临界点的对称性已被正确确立，且这些指数已被精确确定。