伪扩散方程的对称性及其非寻常的双侧核

我们通过两种相关的方法确定了\emph{‘伪扩散方程’}(PSDE) $$L~Q \equiv \left[\frac {\partial}{\partial t} -\frac 1 4 \left(\frac {\partial^2}{\partial x^2} -\frac 1 {t^2} \frac {\partial^2}{\partial p^2}\right)\right]~Q(x,p,t)=0,$$ 的不变代数$\g$，该方程描述了$(x,p)$-相空间中$Q$函数作为压缩参数$y$的函数（其中$t=e^{2y}$）的行为。该代数与其常系数版本同构。基于该同构，我们构造了一个将因子$t^{-2}$映射为1的局部点变换。我们证明PSDE的任何广义版本$u_t-u_{xx}+ b(t) u_{yy}=0$都具有比$\g$更小的对称代数，除非$b(t)$等于常数或正比于$t^{-2}$。我们应用群元$G_i(\ga) := \exp[\ga A_i]$从简单解得到PSDE的新解，并解释了一些结果的物理意义。我们利用PSDE的‘因式分解性质’构造了其\textit{‘双侧核’}，因为它必须依赖于两个时间$t_0 < t < t_1$。我们详细讨论了对称代数$\g$的李代数结构的识别，以及它从$\su(1,1)\oplus\so(3,1)$的收缩。