非对称量子拉比模型的对称性

本文旨在通过 $\mathfrak{sl}_2$ 的李代数表示更好地理解非对称量子拉比模型的本征态。我们定义 $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$ 的泛包络代数 $\mathcal{U}(\mathfrak{sl}_2)$ 的一个二阶元素，它通过 $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$ 的某一无限维表示的作用，给出了与非对称量子拉比模型的合流 Heun 常微分方程描述等价的图像。利用此描述，我们证明了当对称破缺参数 $\epsilon$ 等于 $\frac12$ 时，非对称量子拉比模型的谱图中存在能级交叉，并猜想了一个公式，能对一般的 $\epsilon \in \frac12\mathbb{Z}$ 同样确保能级交叉的存在。这一关于能级交叉的结果由 Li 和 Batchelor 在 2015 年通过数值方法证实，他们研究了 Braak (2011) 早先的经验观察。Ku\'s 在 1985 年给出了对称量子拉比模型简并谱的首个分析。在我们的图像中，我们发现若谱由 $\frak{sl}_2$ 的表示描述，则对 $\epsilon \in \frac12\mathbb{Z}$ 存在某种互易性（或 $\mathbb{Z}_2$-对称性）。我们进一步从具有最低权向量的 $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$ 无限维表示的角度，简要讨论了例外谱的非简并部分。