周期 Thomas--Fermi--Dirac--von Weizsäcker 模型中的对称性破缺

我们考虑一个由放置在周期晶格上的无限多原子核和具有周期密度的电子组成的系统的 Thomas--Fermi--Dirac--von~Weizsäcker 模型。我们证明，如果 Dirac 常数足够小，电子具有与原子核相同的周期性。另一方面，如果 Dirac 常数足够大，2-周期电子极小子不是 1-周期的，因此发生对称性破缺。我们详细分析了当 Dirac 常数趋于无穷大时电子的行为，并表明电子全部集中在大小为 2 的单位晶胞的 8 个原子核中的恰好一个周围，这是对称性破缺的解释。在此点处放大，电子密度在整个空间中求解一个具有非线性项 $u^{7/3}-u^{4/3}$ 的有效非线性 Schrödinger 方程。我们的结果依赖于对该非线性方程的分析，特别是正解的唯一性和非退化性。