Darboux方程的对称性

本文建立了环面上Darboux方程(1882)的对称性。我们通过发展围绕Darboux方程四个正则奇点（位于环面的四个半周期）的以Jacobi椭圆函数表示的新无穷级数展开，扩展了Ince的工作(1940)。Darboux方程的对称群由Coxeter群 $B_4\cong G_{\mathrm{I}}\rtimes_{\Gamma} G_{\mathrm{II}}$ 给出，其中 $G_{\mathrm{I}}$ 的作用对应于方程解中参数的符号变化，这对方程本身没有有效改变，而 $G_{\mathrm{II}}$ 的作用置换环面的四个半周期，这由一条短正合序列描述。我们能够澄清当底层环面的有序基改变时方程的对称性。我们的结果表明，在环面上考虑Darboux方程的对称性比早期研究者如Maier(2007)通常在Riemann球 $\mathbb{CP}^1$ 上考虑要透明得多。我们列出了Jacobian形式和Weierstrass形式的Darboux方程对称表。还给出了Darboux方程192个解的合并列表。然后我们考虑几个经典方程（例如Lamé方程）的对称性，它们均为Darboux方程的特例。那些终止的Darboux方程解推广了经典的Lamé多项式。