Fano 簇的对称性

我们研究赋予对称群忠实作用的 Fano 簇，以及 Calabi–Yau 簇和对数终端奇点的类似结果。我们证明存在常数 $m(n)$，使得作用在 $n$ 维 Fano 簇上的每个对称群 $S_k$ 满足 $k \leq m(n)$。我们证明对每个 $n$ 有 $m(n)> n+\sqrt{2n}$。另一方面，我们证明 $\lim_{n\to \infty} m(n)/(n+1)^2 \leq 1$。然而，该渐近上界预计并非紧的。我们对某些簇类获得了紧界。对环簇，我们证明对 $n\geq 4$ 有 $m(n)=n+2$。对 Fano 拟光滑加权完全交，我们证明渐近等式 $\lim_{n\to \infty} m(n)/(n+1)=1$。在 Fano 加权完全交中，我们研究极大对称者，并表明它们与 Fano–Fermat 簇（即 $\mathbb P^N$ 中由 Fermat 超曲面切出的 Fano 完全交）密切相关。最后，我们建立极大对称 Fano 簇与 Fano 簇有界性之间的联系。例如，我们证明 $S_8$-等变 Fano $4$-fold 类构成有界族。相反，$S_7$-等变 Fano $4$-fold 是无界的。