Milnor $K$-群中类的符号长度

给定域 $F$、正整数 $m$ 和整数 $n\geq 2$，我们证明在假设 $F \supseteq \mu_{2^{m+1}}$ 下，Milnor $K$-群 $K_n F/2^m K_n F$ 中在嵌入到 $K_n F/2^{m+1} K_n F$ 后等价于单个符号的类的符号长度至多为 $2^{n-1}$。由于当 $n=2$ 时，$K_2 F/2^m K_2 F \cong {_{2^m}Br(F)}$，这与 Tignol 于1983年证明的指数为 $2^m$ 且与次数为 $2^{m+1}$ 的单个符号代数 Brauer 等价的中心简单代数的符号长度上界 $2$ 相一致。我们还考虑了嵌入到 $K_n F/2^{m+1} K_n F$ 后符号长度为 2、3 和 4（后者当 $n=2$ 时）的情况。最后我们研究了当 $F \supseteq \mu_{3^{m+1}}$ 时，$K_3/3^m K_3 F$ 中嵌入到 $K_3 F/3^{m+1} K_3 F$ 后为单个符号的类的符号长度。