椭圆曲线 Brauer 群中的符号长度

设 $\ell$ 为奇素数，$K$ 为特征不为 $2,3,$ 或 $\ell$ 且包含本原 $\ell$ 次单位根的域。对于 $K$ 上的椭圆曲线 $E$，我们考虑标准 Galois 表示 $$\rho_{E,\ell}: \text{Gal}(\overline{K}/K) \rightarrow \text{GL}_2(\mathbb{F}_{\ell}),$$ 并将其核的固定域记为 $L$。最近，最后一位作者给出了一种显式计算 Brauer 群中元素的算法，推导出 $\mathbin{_{\ell}\text{Br}(E)} / \mathbin{_{\ell}\text{Br}(K)}$ 中符号长度的上界为 $2(\ell+1)(\ell-1)$。更确切地说，符号长度以 $2[L:K]$ 为上界。若 $\ell \nmid [L:K]$，我们将此界改进为 $[L:K]-1$。在 $\text{Gal}(L/K)$ 包含阶为 $d > 1$ 的元素的额外假设下，我们进一步将其降至 $(1-\frac{1}{d})[L:K]$。特别地，这些界对所有 CM 椭圆曲线均成立，在此情况下我们推导出一般性的上界 $\ell + 1$。我们提供了一个在 SageMath 中实现的算法，用于在数域上显式计算这些符号。