球面和复射影空间商上的 SYM 理论

我们引入一种通用流程，沿具有 $U(1)^r$ 等距的压扁 $S^{2r-1}$ 的 Hopf 纤维，将超对称杨-米尔斯（SYM）理论约化到 $\mathbb{CP}^{r-1}$ 底空间。这相当于固定一个生成 $U(1)\subset U(1)^r$ 旋转的 Killing 向量 $v$，并沿 $v$ 或沿包含在 $U(1)^r$ 中的另一方向进行维度约化。为执行此类约化，我们引入一个沿两条纤维之一自由作用的 $\mathbb{Z}_p$ 商。对固定的 $p$，所得流形 $S^{2r-1}/\mathbb{Z}_p\equiv L^{2r-1}(p,\pm 1)$ 是透镜空间的高维推广。在大 $p$ 极限下，纤维收缩，我们有效地发现了生活在底流形上的理论。从 $S^3$ 上的 $\mathcal{N}=2$ SYM 和 $S^5$ 上的 $\mathcal{N}=1$ SYM 出发，我们分别对 $r=2$ 和 $r=3$ 计算了在 $L^{2r-1}(p,\pm 1)$ 上的微扰配分函数，以及在大 $p$ 极限下在 $\mathbb{CP}^{r-1}$ 上的微扰配分函数。我们展示了沿两条不等价纤维的约化如何在底空间上产生两种不同的理论。沿 $v$ 约化给出了 Donaldson-Witten 理论的等变版本，而另一种选择导致与 Pestun 在 $S^4$ 上的理论密切相关的超对称理论。我们使用我们的技术重现了 $r=2$ 的已知结果，并给出了 $r=3$ 的新结果。特别地，我们展示了在大 $p$ 下，$\mathbb{CP}^2$ 上通量的求和如何源于 $L^{5}(p,\pm 1)$ 上平坦连接的求和。最后，对 $r=3$，我们还评论了非单连通流形上微扰配分函数的因式分解。