带吸收陷阱的 Sisyphus 随机漫步模型中的生存概率

我们分析了 Sisyphus 随机漫步模型的动力学，这是一种离散马尔可夫链，其中行走者可能随机返回到其初始位置 $x_0$。特别是，我们提出了一种极其紧凑的推导方法，推导描述在原点处存在吸收陷阱下的随机漫步器的随时间变化的生存概率函数 $S(t;x_0)$。生存概率以 $x_0$-广义斐波那契数 $G^{(x_0)}_t$ 的形式简洁表达。有趣的是，证明了与标准随机漫步模型不同，在标准模型中生存概率随初始位置 $x_0$ 距离陷阱的线性依赖关系呈现随时间呈反平方法衰减，而在 Sisyphus 随机漫步模型中，生存概率随时间呈指数衰减，并由初始距离吸收陷阱的非平凡（非线性）$x_0$ 依赖关系特征。我们利用推导得到的解析结果来分析“生存游戏”的底层动力学，这是一种高风险的投资策略，其中未被吸收的代理人获得随时间逐渐增加的奖励 $P(t)$。