关于方程 $X^2-\varepsilon_2\varepsilon_{p_1p_2}\varepsilon_{2p_1p_2}=0$

设$p_1\equiv p_2\equiv5 \pmod8$为素数且满足$\left(\frac{p_1}{p_2}\right)=-1$。令$\mathbb{L}=Q(\sqrt2, \sqrt{p_1p_2})$。我们的目标是在$\mathbb{L}$中求解方程$X^2-\varepsilon_2\varepsilon_{p_1p_2}\varepsilon_{2p_1p_2}=0$，其中$\varepsilon_j$是$Q(\sqrt2, \sqrt{p_1p_2})$的实二次子域的基本单位。