随机矩阵乘积的超对称性

我们研究独立随机矩阵乘积的奇异值统计。具体而言，我们计算了特征多项式乘积的相应平均值。为此，我们应用了最近为手征随机矩阵系综引入的投影公式，该公式可作为超对称方法的一种捷径。投影公式使我们能够研究自由概率论目前尚无法处理的局部统计。为了阐明投影公式并强调我们方法的有效性，我们计算了包含 Wishart-Laguerre（手征高斯）、Jacobi（截断正交、酉或酉辛）以及 Cauchy-Lorentz（重尾）随机矩阵系综的 Meijer G-系综的硬边标度极限。所有计算均以统一方式针对实、复和四元数矩阵进行。对于实矩阵和四元数矩阵，结果完全是新的，并指出了这些矩阵乘积的硬边标度极限也具有普适性。此外，我们识别出了对应于乘积矩阵的非线性 $\sigma$-模型。