具有零能基态的超谐双势阱系统：对扩散弛豫情景的相关性

在线上的Smoluchowski扩散过程，在约束势 $U(x) \sim x^m$，$m=2n \geq 2$ 中，其弛豫性质（具体地，时间速率）可通过所属的Schrödinger半群 $\exp (-t\hat{H})$，$t\geq 0$ 进行谱量化。推断的（量纲重标度后的）运动生成元 $\hat{H}= - \Delta + {\cal{V}}(x)$ 涉及势函数 ${\cal{V}}(x)= ax^{2m-2} - bx^{m-2}$，$a=a(m), b=b(m) >0$，对于 $m>2$ 具有显著的高阶（超谐）双势阱形式。对于每一个 $m>2$ 的值，$\hat{H}$ 具有零能基态本征函数 $\rho _*^{1/2}(x)$，其中 $\rho _*(x) \sim \exp -[U(x)]$ 表示扩散过程的玻尔兹曼平衡概率密度函数。$\hat{H}$ 的一个特性是，它指代一类准精确可解的Schrödinger型系统，其谱数据或是残余的，或在解析上不可得。同样，迄今为止尚未开发数值辅助程序。除基态零本征值和偶然试错结果外，$\hat{H}$ 的最低正能级（和能隙）未知。为克服此障碍，我们开发了一种计算机辅助程序，以恢复 $m>2$ 时 $\hat{H}$ 的近似谱解。该任务针对谱中与弛豫相关的低能部分完成。通过取更大的 $m$ 值（直至 $m=104$），我们考察了在 $R$ 上 $m\gg 2$ 的 $\hat{H}$ 与区间 $[-1,1]$ 中的诺依曼拉普拉斯算子 $\Delta _{\cal{N}}$（已知其生成具有双侧反射的布朗运动）的谱“接近性”。