超椭圆仿射 Lie 代数与正交多项式 II

设 $\mathfrak{g}$ 为有限维复简单 Lie 代数，且 $r,m\ge 2$。超椭圆当前代数 $\mathfrak{g}\otimes A$ 的普遍中心扩张为 $\widehat{\mathfrak{g}\otimes A}\cong\mathfrak{g}\otimes A \oplus(\Omega^1_A/dA)$，其中 $A=\mathbb{C}[t,t^{-1},u]/\langle u^m-(1-2ct^r+t^{2r})\rangle$。我们计算支配 $\Omega^1_A/dA$ 中自然 cocycle 基的递归关系，并通过 admitting closed integral expressions of superelliptic type 的生成函数进行编码。将 $2r$ 种初始条件选项分为四种结构类型；两种规范选择（类型1和类型2）产生两种特istinguished 多项式族。我们证明这些多项式满足关于 $c$ 的四阶线性常微分方程，Valid for all integers $r,m\ge 2$。对于 type~2 族的证明结合了超椭圆曲线 $u^m=1-2ct^r+t^{2r}$ 的 Picard-Fuchs 理论与通过有理函数同一性论证对显式系数公式的代数识别。经过奇偶限制和重新索引，结果序列被识别为与ultraspherical polynomials 相关的序列。我们展示了对于每个可接受的 $n$ 和 $m\ge4$，相应的四阶方程都有一个唯一的多项式解（仅限标量倍数）。