普适中心扩张与超椭圆 Krichever--Novikov 环境下正交多项式之间的部分词典

设 $m \geq 2$，设 $P(x) \in \mathbb{C}[x]$ 有简单根，设 $A = \mathbb{C}[x^{\pm 1},\,u \mid u^m = P(x)]$ 为相关超椭圆曲线的坐标环。导数代数 $\mathrm{Der}(A)$ 和当前代数 $\mathfrak{g}\otimes A$（其中 $\mathfrak{g}$ 为简单 Lie 代数）各自拥有普适中心扩张，其中心是多维的并携带其基元素之间的线性代数关系。我们在这些关系与参数 $a$ 编码分支母线 $P$ 的正交多项式族之间建立了系统的词典。该词典有三个标准条目：(1) $\widehat{\mathrm{Der}(A)}$ 中心的基约化关系恰好是正交多项式族的三项递推关系；(2) 中心的生成函数满足该族的 Sturm--Liouville ODE；(3) 混合子域 $2$ cocycle 等于二次情况下的 Legendre 原函数 $(P_{n-1}(a)-P_{n+1}(a))/(2n+1)$。我们对 $P(x)=x^2-2ax+1$（Legendre 多项式）以及四次回文情形 $P(x)=x^4-2ax^2+1$ 完全证明了该词典。在二次情况中，回文对称性迫使递推为 Legendre 三项递推；在四次情况中，奇子域为 Legendre，偶子域满足带回文系数的两分量递推。我们推测这种模式——回文的 $P$ 迫使递推系数对称——在所有偶次数中都成立。相同的词典也支配 K"{a}hler 侧 $\Omega^1_A/dA$：所有子域在比例化参数下都化简为子域-$1$ 族，递推与 ODE 条目是标准的，而混合 cocycle 条目是部分取决于选择的。