大质量产生超扩散——构造与增长估计

研究了对应于微分算子 $\LL u+\beta u-\alpha u^{2}$ 形式且带有大质量产生项 $\beta$ 的超扩散。我们针对大质量产生超扩散的构造也适用于分支机制 $\beta u-\alpha u^{1+\gamma},\ 0<\gamma<1,$ 的情形。设 $D\subseteq\mathbb{R}^{d}$ 为 $\R^d$ 中的区域。当 $\beta$ 较大时，$L+\beta$ 在 $D$ 中的广义主特征值 $\lambda_c$ 通常为无穷大。令 $\{T_{t},t\ge0\}$ 表示 $D$ 中具有零Dirichlet边界条件的 $L+\beta$ 的薛定谔半群。在存在 $0<h\in C^{2}(D)$ 使得对所有 $t\ge 0$ 有 $T_{t}h$ 取有限值的温和假设下，我们证明了存在唯一的 $\mathcal{M}_{loc}(D)$ 值马尔可夫过程，该过程满足关于半线性初值问题的最小非负解的对数拉普拉斯方程。尽管对于超布朗运动(SBM)该假设要求 $\beta$ 小于二次，但二次情形也将被处理。当 $\lambda_c = \infty$ 时，通常的工具，包括鞅方法、偏微分方程以及其他类似技术，无论在构造还是在研究超扩散的大时间行为方面都不再有效。在本文中，我们发展了以下两种新技术用于研究质量的局部/全局增长以及超扩散的扩散：\begin{itemize} \item Fleischmann-Swart ‘Poissonization-coupling’的推广，将超过程与分支扩散相联系； \item 新概念的导引：{\it $p$-广义主特征值}。\end{itemize} 本文给出了对于 $p\in[0,2]$ 且 $\alpha(x)=\beta(x)=1+|x|^p$ 的SBM总种群的精确增长率。