随机环境中标量扩散的大偏差

令 $\sigma(u)$，$u\in \mathbb{R}$ 为一个遍历平稳 Markov 链，取有限个值 $a_1,...,a_m$，且 $b(u)=g(\sigma(u))$，其中 $g$ 为有界可测函数。我们考虑扩散型过程 $$dX^\epsilon_t = b(X^\epsilon_t/\epsilon)dt + \epsilon^\kappa\sigma\big(X^\epsilon_t/\epsilon\big)dB_t, t\le T$$ 满足初值 $X^\epsilon_0=x_0$，其中 $\epsilon$ 为小的正参数，$B_t$ 为布朗运动，独立于 $\sigma$，且 $\kappa> 0$ 为固定常数。我们证明对于 $\kappa<1/6$，族 $\{X^\epsilon_t\}_{\epsilon\to 0}$ 满足 Freidlin-Wentzell 型的大偏差原理（LDP），其常值漂移 $\mathbf{b}$ 与扩散 $\mathbf{a}$ 由 $$\mathbf{b}=\sum\limits_{i=1}^m\dfrac{g(a_i)}{a^2_i}\pi_i\Big/ \sum\limits_{i=1}^m\dfrac{1}{a^2_i}\pi_i, \quad \mathbf{a}=1\Big/\sum\limits_{i=1}^m\dfrac{1}{a^2_i}\pi_i,$$ 给出，其中 $\{\pi_1,...,\pi_m\}$ 为链 $\sigma(u)$ 的不变分布。