佩尔方程X坐标中S-单位的和

设$S$是一个固定的素数集合，$(X_{l})_{l\geq 1}$是对应于非平方整数$d>1$的佩尔方程$X^2-dY^2 = 1$的正整数解$(X, Y)$的$X$坐标。我们证明，存在有限多个非平方整数$d>1$，使得序列$(X_{l})_{l\geq 1}$中至少有两个不同的元素可以表示为固定项数的$S$-单位之和。此外，我们显式地解决了一个特例，其中两个$X$坐标是2的幂与3的幂的乘积。