带随机系数的投影之和

我们研究 Hilbert 空间中由秩一投影组成的无穷级数\n\n$$\n{\mathcal P}_{\varkappa}=\sum_{n=-\infty}^\infty \varkappa_n \langle\cdot, \psi_n\rangle\psi_n \n$$\n其中 $\{\psi_n\}_{n\in\mathbb Z}$ 为范为 1 的向量，不必正交，$\{\varkappa_n\}_{n\in\mathbb Z}$ 为独立同分布的正随机变量。假设 Gram 矩阵 $\{\langle\psi_n,\psi_m\rangle\}_{n,m\in\mathbb Z}$ 在 $\ell^2(\mathbb Z)$ 上定义为有界算子且其条目仅依赖于差值 $n-m$，我们在 Ergodic Operators 的谱论框架内分析 ${\mathcal P}_{\varkappa}$。灵感来自 Ergodic Schrödinger 算子的谱论，我们为 ${\mathcal P}_{\varkappa}$ 定义集成态密度(IDS)测度 $\nu_{{\mathcal P}_\varkappa}$，并在其连续性和绝对连续性方面取得结果，包括 Wegner 类型估计和在谱边处的 Lifshitz 尾部行为。在接近正交的 $\psi_n$ 的渐近 regime 中，我们证明了 Anderson 类型局部分散结果：${\mathcal P}_{\varkappa}$ 的谱是几乎必然纯点。