非晶固体随机 Schrodinger 算子严格结果综述

非晶或非晶体无序固体的电子性质常由具有随机势且关于欧几里得平移群完全 ergodic 的单粒子 Schrodinger 算子来建模。我们给出一篇简洁且较为自包含的综述，讨论此类算子在存在常数磁场情况下的严格结果。我们整理了集成态密度状态（integrated density of states）的稳健性质，如其自平均性、唯一性及其在高能区的主导增长。随后讨论其在低能区的主导衰减，即其 Lifshits tail，特别是针对高斯和非负泊马克随机势的情况。在高斯情形下若协方差函数连续且非负，则指出集成态密度状态在局部 Lipschitz 连续，并给出其导数——态密度——的显式上界。关于 Anderson 局域化的结果涉及低能谱在特定高斯随机势下的几乎sure 的纯点性质。此外，在稍加强的条件下，初始局域波包在纯点谱子空间中的所有绝对空间矩几乎必为有限。对于一维情况及具有有限范围排斥杂质的泊马克随机势，已知其整个能谱几乎必为纯点。