球面上 Laplace--Beltrami 方程的平面波表示及其在 Green 函数中的应用

我们提出了一种扩展平面波表示 (plane-wave representation) 的方法，用于定义在实球面 $\mathcal{S}^2$ 上的波场。该表示在平面情形下已为人所熟知，但从未发展到曲面上。为实现此目标，我们需要仔细研究 $\mathcal{S}^2$ 复杂化的几何结构、Laplace--Beltrami 算子性质，同时运用多维复分析概念。我们通过发展滑动积分路径方法 (sliding-contours method)，扩展了此类平面波表示的有效区域。我们的方法通过对实球面上的 Green 函数研究进行说明。